Cinta de Moebio: Revista de Epistemología de Ciencias Sociales

Camacho, A. 2005. Sistemas sintéticos: lo inteligible en los manuales para la enseñanza. Cinta moebio 22: 1-18

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Sistemas sintéticos: lo inteligible en los manuales para la enseñanza

Sintetic systems: the intelligible in textbooks

Alberto Camacho Ríos (camachoalberto@hotmail.com) Doctor en Matemática Educativa. Instituto Tecnológico de Chihuahua II (México)

Abstract

The problem is focused on showing how fundamental knowledge arises from two dominances in opposition. Such fundamental knowledge gives structure to texts whose content is dedicated to the teaching.

Key words: contingency, synthesizer, textbooks

Resumen

Nuestro propósito es mostrar cómo de lo contingente de dominios que estuvieron en oposición, surgieron aquellos conocimientos fundamentales que dieron estructura a obras de ciencias y obras elementales dedicadas a la enseñanza de la matemática.

Palabras clave: contingencia, sintetizar, obras elementales.

Recibido el 11-Jun-2004.

Introducción

Un argumento de inicio será fundamental para introducir esta temática, es la siguiente pregunta: ¿Cómo se puede analizar una obra elemental?

Las obras elementales fueron manuales de matemáticas y otras disciplinas, que bajo esa denominación se usaron a lo largo de los siglos XVII al XIX para la enseñanza. La cuestión surge importante debido a que durante los últimos diez años, dicha pregunta ha estado inmersa en el contexto de investigación de nuestro grupo de Matemática Educativa y en diversos congresos que asumen esta orientación. El enfoque mediático que justifica el análisis de los manuales para la enseñanza de la matemática, ha sido la búsqueda en la historia de las reformulaciones de los conceptos matemáticos que nos han guiado en la definición de nuestros proyectos de investigación, dentro del concurso de las dimensiones social, conceptual y epistemológica, y en el diseño de un buen número de situaciones didácticas que han tenido amplia acogida e impacto en la enseñanza de conceptos matemáticos que recurrentemente nos causan problemas de aprendizaje en el salón de clase.

Para los estudiosos de la historia de la ciencia la pregunta ha sido central. Al finalizar el siglo XIX y a lo largo del siglo XX los historiadores de la ciencia vieron con profundidad la importancia de la investigación textual. L. Brunshvicg realizó en Francia a principios del siglo XX, una disertación extensa de la historia de las matemáticas que partía de los clásicos griegos hasta finalizar con la matemática expuesta en las respectivas obras de Comte, Cauchy, Lagrange y Fresnel (Vid. Brunshvicg, 1922). Un discípulo suyo, G. Bachelard, propuso a mediados del siglo dos nociones imprescindibles para el estudio de la historia de la ciencia: aquella de obstáculo epistemológico y la otra, de acto epistemológico. El primero de estos ampliamente reconocido, es por hoy un pilar de nuestra disciplina. El segundo corresponde a las sacudidas del genio que aporta impulsos inesperados en transcurso del desarrollo científico. Esta dialéctica entre obstáculo y acto deja ver con transparencia como los impulsos del pensamiento científico refieren las reformulaciones o epistemologías sufridas por el conocimiento a lo largo del tiempo (Cfr. Bachelard, 1971). El punto de vista de Bachelard sugería que en el estudio de la historia de las ciencias, a partir de el análisis documental, se debía distinguir el error y la verdad, lo inerte y lo activo, lo perjudicial y lo fecundo siguiendo la huella de las diferentes rupturas y discontinuidades del conocimiento y no solamente la continuidad de la historia de los conocimientos mismos. En 1962 T. Kuhn, al tratar de encontrar las diferencias sobre los fundamentos de la historia de las ciencias, reconoció la importancia del papel que desempeña el concepto de paradigma, vio estos como síntesis históricas del conocimiento que han desencadenado cambios que afectan la estructura de las revoluciones científicas. A diferencia de Bachelard, Kuhn consideraba las transformaciones del conocimiento a partir de un saber ya constituido o bien como la mejor imagen que la historia de la ciencia ofrece de este último, el cual enmarca el paradigma en cuestión, toda vez que estos archivan el paso de una teoría a otra. A finales de los setenta, Koyré impulso la idea de analizar la evolución del pensamiento científico a través de estrechar las concepciones trans-científicas de disciplinas antiguas como la filosofía, metafísica y religión, ello dio para un estudio del paso del espacio finito griego hacia una concepción geométrica del espacio infinito que merecía la modernidad del siglo XVII. La ruta de investigación que siguió la noción de ruptura y paradigma a lo largo del siglo XX, orientó la visión de las diferentes disertaciones que al respecto se han obtenido desde los años sesenta en adelante.

En esencia, el objeto de la tarea de los investigadores de la ciencia a través del análisis textual, ha sido a lo largo del siglo pasado y en lo que va del presente, el restablecimiento de tradiciones científicas. Una tradición científica significa la acción de transmitir a lo largo de cierto período de tiempo un saber. Este último puede ser colocado en las obras en forma de proposición, de teorema, como resultado de una práctica, como protocolos que indican los modos en que se deben enseñar ciertos conceptos, como una definición manipulada, etc. La labor del especialista será, en una primera etapa, la de entender dicho material para, con ello, se dice fácil, concurrir a la reconstitución de la tradición textual, la cual es sustentada por el discurso conceptual del saber.

El análisis de obras elementales

En torno al estudio de los manuales para la enseñanza de la matemática de los siglos XVII al XIX, Shubring propuso en los ochenta un enfoque holístico comprendido en un diseño tridimensional que involucraba analizar los cambios de las varias ediciones de los textos, la verificación de los cambios en otros libros correspondientes a la misma oeuvre, y la observación de los cambios en el contexto: planes y programas de estudio, decretos ministeriales, epistemologías, etc. Al finalizar el siglo (Belhoste, Dalmedico, et, al, 1994), se dirigió un estudio en tres partes de la école polytechnique. Ha sido ésta la primera obra sobre historia de la enseñanza de las matemáticas y de la formación en la escuela desde su fundación hasta nuestros días. Es el fruto de un examen crítico, apoyado por una investigación histórica de los fondos documentales y textuales de la escuela, de la que desgranan historiografías, conocimientos, tradición científica y enseñanza a partir de su vocación militar. Un año antes, en Dalmedico (1993) se estudió la obra de Cauchy, tomando como eje central una escala en el tiempo observada como un fractal que llevó a poner en evidencia elementos suplementarios de la vida del autor: vacilaciones, influencias, rivalidades, etc.

Por nuestra parte, a lo largo del último lustro del siglo XX, y hasta el año 2000, el enfoque que utilizamos en Camacho (2000) para el análisis de los manuales fue establecido a través del conocimiento matemático que aparece en dichos documentos, el cual fue vehiculado por flujos de difusión de conocimientos que emergieron de Europa desde finales del siglo XVIII y a lo largo del siglo XIX, fundamentalmente de España y Francia, y que tuvieron consecuencias poco favorables en la enseñanza de la matemática de los colegios mexicanos, por las prácticas de transculturación acontecidas al conocimiento en los textos: obras compendiadas, cortes, inserciones, traslación de ideologías, sujeción cultural, etc.

Ciencia y proto-ciencia

Para el 2001, R. Rashed, presidente de la International Union of History and Philosophy of Science, hizo distinción entre lo proto-científico y lo científico, ofreciéndole como una distinción exclusiva que domina enteramente la historia de las ciencias (Vid. Rashed, 2001). Esta oposición debe ser entendida como histórica y lógica a la vez, permitiendo por consecuencia distinguir una obra de ciencia de otra en la que se pretenda tratar el mismo objeto. No obstante, Rashed sustrajo las matemáticas de esta oposición debido a que las piezas exclusivas de la proto-matemática pertenecen a la matemática misma: los indivisibles, las consideraciones sobre la noción de límite a lo largo del siglo XVIII, etc. Esto último no ocurre con las otras disciplinas en las que lo proto-científico les cubre de diversas maneras.

Para mejor comprender el pensamiento de Rashed, evoquemos aquí los casos de los fundamentos de dos tradiciones preocupadas por un mismo objetivo. La definición del cálculo de las fluxiones de Newton, tomó sentido a partir de engendrar las cantidades por la permisibilidad que da su naturaleza, cual es la de aumentar o disminuir con movimiento uniforme. Por su parte Leibniz, incorporó a las cantidades una convención de naturaleza no-real, las cantidades infinitamente pequeñas.

A pesar de las diferencias en los dominios, en Newton las cantidades se engendran a partir del movimiento uniforme dando lugar a un modelo geométrico, en tanto que en Leibniz esta posibilidad ocurre por los infinitamente pequeños, configurando una propuesta algorítmica, se puede decir que cada uno habla el lenguaje del otro y pareciera que ambos proyectos sólo son traducibles en la estructura notacional del análisis estándar contemporáneo. La posible traducción es el punto de vista de Rashed. Bajo esta óptica el cálculo estándar marca un principio de orden, una noción de distancia que rectifica no sólo a los proto-conocimientos sino, además, al sinnúmero de epistemologías que le sostienen.

La síntesis newtoniana del espacio

No obstante, y como es sabido, la conciliación de estos dominios del cálculo llevó a una tradición que duró varios siglos. Los primeros acercamientos tuvieron en su inicio contradicciones en las formas del conocimiento que engendraron, pudiéndose explicar estos últimos con el adjetivo de meta-conceptos; es decir, conocimientos abstractos u oscuros, situados en una etapa primitiva o en una proto-matemática, siguiendo a Rashed, difíciles de determinar en el dominio de lo real.

Estas expresiones fueron resultado de una deliberación del pensamiento, el cual fue sujeto a la noción universal de espacio y a sus cualidades de extensión establecidas por los primeros analistas, como Newton. Este concibió el espacio absoluto sin definirle como siempre similar e inmóvil. Empero la contingencia, el espacio relativo fue pensado como cierta dimensión móvil o medida de los espacios absolutos. Consecuentemente su extensión, y particularmente las cantidades, fueron pensadas como crecientes o decrecientes con movimiento continuo, a la manera del espacio que describe un cuerpo en movimiento.

A tal definición llegó a partir de suprimir de la noción de espacio una o varias determinaciones, a excepción de la idea de extensión, lo cual le originó una idea genérica a la que ya no respondió el espacio en lo real. Este corte le hizo a determinaciones que conservaban un carácter finito, las cuales al ser suprimidas hicieron que la extensión deviniera infinita. Ello le permitió reconsiderar el espacio a partir de un atributo de éste, cual es la noción de cantidad.

En su caso la noción de cantidad representaba recintos del espacio, y era el concepto en juego. La definición de esa noción antes de Newton era: Cantidad es todo aquello que aumenta o disminuye. La reformulación de Newton a través de su concepción geométrico-espacial fue: Cantidades son crecientes o decrecientes con movimiento continuo. De esta forma la noción original y su accesoria pueden conectarse y formar la proposición sintética siguiente: Todo lo que es capaz de aumentar o disminuir es descrito con movimiento continuo.

Esta última reformulación es una unificación o síntesis del pensamiento newtoniano con el pensamiento clásico de su época, a la que se pudo remontar gracias a la trascendencia o universalidad de la noción de espacio; particularmente a su atributo más representativo, la noción de cantidad. Con este primer axioma Newton fue capaz en 1665-66 de dar una explicación matemática, a partir de las series que surgen del teorema binomio, de los fenómenos físicos y astronómicos que estudió, y considerarle eje medular de la estructura de los Principia. No obstante, con la síntesis no se pretendía resolver problemas particulares, sino, en principio, ordenar la totalidad de la ciencia en un sistema textual. Quien desconozca la obra de Newton tiene en ese primer axioma un argumento fundamental para estudiarle.

Síntesis y sintetizadores

En este contexto, y siguiendo el modelo de sintetización de Newton, la cantidad se ancló como noción de orden cuyas posibilidades de implicación rebasaron a cualquier otro concepto, llevando a los analistas y geómetras a escribir bajo esa perspectiva las primeras Obras de conocimientos avanzados. En el caso de L´ Hôpital, arrogando del cálculo de Leibniz, transfirió en 1696, (Vid. L´ Hôpital, 1696), la noción de cantidad extrapolándole del espacio como porciones infinitamente pequeñas de cantidades variables que aumentan y disminuyen continuamente. Esta síntesis fue definida diferencia y es el fundamento que permea el Analyse des infiniment petits. Euler hizo algo semejante en 1755 para escribir los Principes de calcul différentiel, extendió la noción de cantidad al infinito percibiéndole en una sola proposición como: Las cantidades pueden por su propia naturaleza aumentar o disminuir al infinito (Cfr. Euler, 1755).

Dicha práctica, aunque parezca, no se refiere solamente al diseño de obras de conocimientos avanzados que tengan que ver con el cálculo diferencial. Lobatchevski construyó su Géométrie imaginaire con argumentos semejantes. Pascal expresó que la geometría tomaba su fundamento a partir de generalizar la noción de extensión en términos de establecer sus límites entre la nada o sea el cero, y el infinito. Laplace hizo uso del principio de la razón suficiente, de Leibniz, axioma evidente a priori, basado en el principio de que una cosa no puede comenzar a existir sin una causa que le produzca. Hecho empírico que le llevó a sustentar los Essai philosophique sur les probabilités, considerando el estado actual del universo como el efecto del estado anterior y como la causa del que ha de seguirle.

En Descartes, durante el siglo XVII, los principios que se exigían para fundamentar la ciencia en documentos textuales debieran ser evidencias apodícticas, es decir, axiomas convincentes a priori que de principio no admitieran contradicción. Este último acuñó la noción de elemento, como aquellos componentes inmanentes de una cosa. Si seguimos este punto de vista, en L´ Hôpital la diferencia es el elemento constitutivo y es el resultado formal de la síntesis de pensamientos. En Newton los elementos serían las primeras y últimas razones de cantidades llamadas inicialmente fluxiones, o mejor aún en el contexto de la síntesis, velocidades de crecimiento.

Vista así, la unificación de conocimientos conduce por sí misma a la adquisición de un conocimiento nuevo. Kant llamó en 1785 proposiciones sintéticas a la suma de las proposiciones primitiva y su accesoria. El ejemplo clásico kantiano es el de la proposición sintética 7+5=12; fue comentada en (De Rémusat, 1849; Russell, 1950 y Meyerson y Lefebvre 1969). En el centro de la proposición ni el concepto de 5, ni el concepto de 7, indican que su suma sea divisible por 3 y 4. Con ello Kant, Rémusat y Meyerson concluyeron en la síntesis afirmando que ahí se ha creado algo nuevo. Otro ejemplo cotidiano, de entre muchos otros, fue el de: la línea recta es la más corta entre dos puntos. Evidentemente el sujeto recta no está comprendido en el atributo, este último, la más corta entre dos puntos, es la proposición accesoria que sintetiza la primera.

Hasta aquí hemos podido bosquejar como la síntesis fundó una tradición en la construcción de obras de ciencias sujeta a los siguientes argumentos: 1) La unificación de pensamientos, 2) La definición proposicional del elemento, y 3) La consagración de la obra. ¿Pero qué alcance tuvieron esas perspectivas en el diseño de los manuales?

La unificación en los manuales para la enseñanza

Desde principios del siglo XVIII los elementos se concebían como aquella parte que denotaba las componentes originales de un cuerpo. Reynaud, en su texto de cálculo llamado Analyse demontrée, (Vid. Reynaud, 1708) y Bèzout en sus Principios de cálculo infinitesimal de mediados del siglo XVIII (Cfr. Bèzout, 1760 aprox.), llamaban elemento a la extensión infinitesimal o diferencial que se tomaba en las figuras geométricas con las cuales es posible determinar la cantidad de área, longitud o volumen correspondiente. En este sentido el diferencial de área dA, es un elemento distintivo que unifica y hereda sus fundamentos al área total.

El hecho analítico en el Traité du calcul différentiel et integral de S. F Lacroix

En la escritura del Traité du calcul différentiel et integral, por cantidad Lacroix había concebido todo aquello cuya magnitud por su naturaleza es comparable con otra de su misma especie (Cfr. Lacroix, 1797). La comparación sólo era posible, como en Newton, con el auxilio de los números, y se lograba a partir de establecer la dependencia entre cantidades.

Para justificar el paso de las cantidades en juego por sus diferentes estados de magnitud, sean estos infinitamente pequeños o infinitos, Lacroix hubo de reducir esta operación a un hecho analítico reposado sobre nociones consistentes que esperaba llegaran a responder a las aplicaciones geométricas de la mecánica, asignatura central en la enseñanza de la école polytechnique al iniciar funciones en 1794, y de la cual el cálculo infinitesimal era parte fundamental. El hecho analítico fue su intento por sintetizar el concepto de límite newtoniano para con ello tener un argumento o proposición medular en el diseño del Traité.

La posición de Lacroix hacia el concepto de límite se colocaba en la postura en esa dirección de los escritos de Euler, D´Alembert y Cousin y era totalmente opuesta a la de Lagrange, incluyendo su negación a la notación propuesta por este último. Dos problemas sirvieron para la justificación, aquel de las tangentes analizado algebraicamente por Barrow, y la caída de los cuerpos graves tomado de la experiencia de Galileo.

La transparencia del objetivo era dejar ver que ambos problemas, resueltos en su momento sin la concepción de los límites, son consustanciales con éste. Ello probaría el origen apodíctico del concepto a partir de unificar las concepciones de Barrow y Galileo con las propias ideas que Lacroix tenía del concepto de límite.

Para el efecto hizo uso del método de reducción al absurdo, o sea, no suponer aquello que se encuentra en la proposición inicial, dejando ver que ello surge natural, en este caso el concepto de límite (Vid. Lacroix, 1819, nota A al final de la obra).

El problema de las tangentes de Barrow

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No obstante, aun cuando Lacroix sólo afirmaba que h, k son pequeñas, el orden en que Barrow les estimó fue viéndoles como infinitamente pequeños. Barrow tomaba la hipotenusa del triángulo que asumen estos valores como un arco infinitamente pequeño, que más tarde se llamaría triángulo característico, y desarrolló el mismo trabajo que Lacroix para evanecer h y k ; pero es obvio que en los cocientes que resultan del proceso, y por el contexto infinitesimalista a que se sujeta, se encuentra implícita la derivada como pendiente de la recta tangente, trabajo que no convence, en tanto desear ver el resultado como anterior a cualquier hipótesis posterior al concepto de límite. Lacroix debió pensar en esta ambigüedad al proponer el ejemplo de la caída libre de los cuerpos.

La caída de los cuerpos graves de Galileo

El argumento de Galileo, es decir que los cuerpos recorren espacios cada vez más grandes en intervalos de tiempo iguales, en virtud de la gravedad que actúa sobre ellos, fue usada por Lacroix para determinar el paso al límite. Designó por h la altura que recorre el cuerpo desde el inicio de su movimiento hasta su caída. Representó por 1 (uno) el espacio recorrido en el primer segundo, en el 2º 3, en el 3º 5 y así sucesivamente.

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El concepto de límite

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La metafísica que precede, sugerida a partir de los ejemplos en la nota A indicada al final de la obra, pareciera suficiente en lo que concierne a su filosofía del cálculo diferencial, tanto en lo geométrico como en el movimiento de los cuerpos, a partir de que en ambos casos las funciones correspondientes a las cantidades son susceptibles de límites y consecuentemente sus puntos capaces de ser unidos por la ley de continuidad, para justificar en ese contexto la escritura del Traité.

Los Principios Matemáticos de D. Benito Bails

Antes que Lacroix, el geómetra español B. Bails escribió entre 1772-76 sus Principios matemáticos, sistema compilado de conocimientos científicos redactado en diez tomos que se utilizaría para la enseñanza tanto en los colegios militares españoles, así como desde la apertura del Seminario de Minería mexicano a principios de 1792. Compendiado en cuatro tomos en 1790 los Principios contenían, para el tomo I aritmética y geometría, el tomo II involucra álgebra, secciones cónicas, series, cálculo diferencial y cálculo integral; el tomo III sitúa dinámica, estática, hidrodinámica, óptica, y astronomía; finalmente el tomo IV principios de geografía, gnomónica, arquitectura, arquitectura civil, arquitectura hidráulica, perspectiva y tablas de logaritmos. El objetivo de la escritura obedecía a la búsqueda de generalizar los conocimientos planteándolos de manera concisa y tratando de abordar los más posibles.

Por su evidencia, Bails concebía la matemática de su época como un gran axioma a priori, previendo que éstas, dentro del mundo real, no tenían la necesidad de una justificación de sus principios elementales (Cfr. Bails, 1790). En ese sentido, la síntesis asumida por Bails manipula el espacio como una extensión finita, al estilo de Newton, desprendiéndole de los límites que la ciñen y dejando a la contingencia la dimensión del espacio infinito: (...) sólo por este medio podemos formar conceptos de una extensión, duración, &, infinita.

La manipulación del infinito

Los Elementos de Análisis Trascendente de F. Díaz Covarrubias

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La posición de G. Barreda

En su Examen del Cálculo Infinitesimal, G. Barreda, creador de la Escuela Nacional Preparatoria, sabio y filósofo, criticó profusamente las posturas filosóficas tomadas hacia el modelo de cálculo lagrangiano por Comte y Díaz Covarrubias (Vid. Barreda, G, 1908). Su punto de vista era que: El carácter excepcional dado por estos últimos al artificio lógico en la introducción de las cantidades auxiliares, es hacer creer que es exclusivo del cálculo diferencial. Lo cual resulta un grave inconveniente para toda pretendida fundamentación filosófica de esta disciplina.

Desde su punto de vista las magnitudes auxiliares sólo desempeñan un papel transitorio. Su esencia consiste en sustituir estos elementos en lugar del todo, con el objeto de inferir sus propiedades: Sólo sirven para encontrar la ecuación que se busca, pero no deben formar parte de ella (Ibid, p. 20).

A partir de estas reflexiones asumió una posición positivista hacia el sistema leibniciano del que hizo una defensa a través de las ideas conceptuales imbuidas en las verdades necesarias de la Logique de Stuart Mill (Cfr. Mill, J. S, 1866).

En el centro de estas ideas se coloca el siguiente párrafo del que Barreda se plegó para discernir y reflexionar sobre los fundamentos del cálculo infinitesimal: El carácter asignado a las verdades matemáticas, y particularmente la certeza que les atribuimos, se conserva solamente suponiendo que esas verdades se relacionan con los objetos y sus propiedades, aunque objetos puramente imaginarios. (Ibid, p. 255).

A partir de ello Barreda apuntaría: Si se quita a los teoremas ese carácter hipotético, si se supone que ellos representan verdades absolutas y aplicables exactamente y sin restricción a la práctica, entonces dichos teoremas, lejos de deber presentarse como el tipo de la verdad y de la exactitud, no serían sino una colección de errores y de delirios (Barreda, op, cit, p. 31).

Para Barreda y Mill la precisión exacta entre los fenómenos físicos y su idealización no existe, de aquí que sólo sea posible inferir hacia ellos a partir de las hipótesis de las que se parte. Hipótesis -como es de suponer- alejadas de la certeza matemática, pero cercanas a la realidad física: La geometría infinitesimal; no aspira a otra certeza más que a la inferencia; ella no pretende que sus resultados hayan de tenerse como verdades absolutas, ni mucho menos como la expresión fiel y exacta de los hechos reales; lo único que exige, es que esos resultados a los que llega, sean tenidos como consecuencias legítimas de las premisas hipotéticas de que parte (Ibid, p. 31).

El reducir la geometría trascendente a sólo operaciones algebraicas -como en Díaz Covarrubias y Lagrange- resulta completamente falso. La inducción no puede ser evadida por un sucedáneo de naturaleza absoluta; puesto que esta metodología juega aquí un papel determinante y es que la inteligencia no tiene otro procedimiento para pasar de un medio parcial a otro global. ¿De dónde?, se pregunta Barreda, ¿las cantidades de radicales imaginarios? O ¿por qué inferimos expresiones no conocidas como a=0X¥, o 1=0X¥, etc.?

Expresiones absurdas como éstas son el resultado de una generalización hecha a través de operaciones conocidas de los números reales. Leibniz, como Barreda, hacía ver que la matemática se encontraba llena de tales enigmas, que surgen a través del análisis e impactan en la síntesis. Es decir son el resultado de despreciar las cantidades infinitesimales en las series y analizar el conjunto de lo que ello deja: (...) el único modo de salir de este resultado de pura aproximación, progresiva pero indefinida, es elevarse, luego que la ley de la serie se deja ver con toda claridad, por medio de una síntesis a la consideración de la totalidad de los términos de la progresión (...)

La síntesis de Barreda

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El debate Díaz Covarrubias-Barreda

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Algunos resultados

Con su curso de cálculo para la preparatoria, Díaz Covarrubias fundó claramente una tradición que señala la existencia de métodos y estilos para la matematización de los fenómenos físicos y de la elementarización de conocimientos que repercutiría en los diseños de otras obras que alternativamente se escribirían para la enseñanza de este nivel. Este modelo adquiere importancia por su incorporación como parte de la enseñanza de la ingeniería y toma un sentido diferente respecto de los modelos infinitesimalistas contemporáneos que se dedicaron a la enseñanza de la matemática.

El entendimiento del concepto de variación es fundado sobre consideraciones geométricas elementales. La geometría es la parte de la matemática que en principio matematiza la extensión de los fenómenos físicos en movimiento a partir de nociones generales constantes como son volúmenes, áreas, ángulos, distancias y puntos: Mi manera de concebir y plantear los principios del análisis trascendente (...) no es más que la expresión de un artificio racional y espontáneo a que recurre nuestra inteligencia siempre que intentamos valorizar, en determinado punto de su producción, un fenómeno variable (Díaz Covarrubias, op, cit, p. 73)

Por otra parte, la crítica de Barreda hacia la propuesta de Díaz Covarrubias, fue la de mostrar con el método positivo la falta de precisión matemática en la definición de las reglas del Cálculo establecidas por el segundo. El intento de Barreda fue un síntoma con el que se buscó una posición de rigor matemático a partir de su intento por sintetizar el infinito, dispuesta para defender y reconstruir el cálculo leibniciano, para así garantizar su fundamentación.

Juicios opuestos, el de Díaz Covarrubias y Barreda, entre la sencillez del primero y el rigor impuesto por el segundo, tenían como finalidad común no sólo la preocupación de la sintetización de sus respectivos discursos sino, también, la previsión del aprendizaje de los conceptos del cálculo por parte de sus alumnos. Empero, la distancia conceptual que separa ambos acercamientos deja ver el inicio de los problemas epistemológicos que hoy nos preocupan en la enseñanza de ésta disciplina.

Conclusiones

Ir a los elementos del conocimiento a partir de unificar o sintetizar, consistía en enlazar el conocimiento anterior con el pensamiento que resultaba de geometrizar el espacio. En la práctica procedimental al geómetra le bastaba con unas cuantas observaciones, relativamente sencillas, como el movimiento de los astros, para sentar las bases empíricas suficientes para la elaboración de reglas, definiciones y hasta teorías.

En sentido contrario a la rectificación de la proto-ciencia de Rashed, donde la ciencia actual debe marcar su orden o principio, la síntesis del espacio formula el pensamiento resultante como un sistema estructurado de obras textuales, cuya unidad proposicional rebasa al conjunto. Epistemológicamente las rupturas y discontinuidades son mínimas, el pensamiento antiguo tiene por plataforma el pensamiento del geómetra, el cual sirve de puente a la continuidad del conocimiento nuevo.

En resumen, la trascendencia de los resultados anteriores tanto en Lacroix, Bails, Díaz Covarrubias, etc., constituyeron sistemas sintéticos integrados en corpus de conocimiento que matematizaban toda la ciencia de las épocas referidas. En este sentido, un sistema sintético hace referencia a un conjunto ordenado y coherente de conocimientos constituido en un corpus textual, en el cual los conocimientos y el sistema son integrados a partir de un primer axioma o principio que les organiza y, como vimos, les es común; además, el conocimiento y el sistema debían pretender ser objetivos y corresponder a la realidad de su objeto, es decir la verdad.

Luego, el trabajo previo al diseño de un sistema textual refiere a una lógica trascendental que se dividía en dos partes: 1º La enfocada a los problemas concernientes a la unificación de conocimientos a través de establecer la verdad de la primera proposición, y 2º Aquella avocada a la sistematización de los conocimientos en la obra a partir de la primera proposición en la forma de: definiciones, problemas, corolarios, postulados, lemas, escolios, casos, pruebas, hipótesis, tesis, etc.

Nota

(1) Este apartado se justifica por el análisis que hace Díaz Covarrubias a la propuesta de Barreda a la que dedica los artículos 58 y 59, páginas 64 a 60, concluye así: Tal es el resumen que da el Sr. Barreda de los fundamentos del método leibnitciano. Su respuesta se coloca en los artículos 60 y 61 páginas 68 a 73 capítulo V llamado Breve exposición comparativa de las diversas concepciones fundamentales que han servido de base al Análisis Trascendente, en Díaz Covarrubias (1873).

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